歌德巴赫猜想

1、何等动人的一页又一页篇页！这些是人类思维的花朵。这些是空谷幽兰、高寒杜鹃、老林中的人参、冰山上的雪莲、绝顶上的灵芝、抽象思维的牡丹。这些数学的公式也是一种世界语言。学会这种语言就懂得它了。这里面贯穿着最严密的逻辑和自然辩证法。它是在探索太阳系、银河系、河外系和宇宙的秘密，原子、电子、粒子、层子的奥妙中产生的。但是能升登到这样高深的数学领域去的人，一般地说，并不很多。

2、Thegenesisofprimenumbers----Revealingtheunderlyingperiodicityofprimenumbers.AdvancesinPureMathematics11,12-

3、徐迟报告文学集《哥德巴赫猜想》，人民文学出版社一九七八年初版

4、教室里又爆发出一阵哄堂大笑。那些没有交卷的同学都笑话那几个交了卷的。他们自己也笑了起来，都笑得跺脚，笑破肚子了。唯独陈景润没有笑。他紧结着眉头。他被排除在这一切欢乐之外。

5、这当然只是幻想。数论属于所谓纯数学，而纯数学是不考虑是否有实际用途的，只是纯粹的智力游戏。在一些数学家(例如英国大数学家哈代)看来，纯数学才是真正的数学，就像绘画和诗歌，有着永恒的美，而应用数学则是丑陋和无趣的。常人能够欣赏绘画和诗歌之美，却难以理解数学之美。徐迟曾用了一连串的比喻赞叹陈景润论文之美：“何等动人的一页又一页篇章！这些是人类思维的花朵。这些是空谷幽兰、高寒杜鹃、老林中的人参、冰山上的雪莲、绝顶上的灵芝、抽象思维的牡丹。”这些空洞的语言不过反映了作家看不懂高深莫测的论文而产生的景仰之情。(歌德巴赫猜想)。

6、然而，不然！在厦门大学的时候，他的日子是好过的。同组同系就只四个大学生，倒有四个教授和一个助教指导学习。他是多么饥渴而且贪馋地吸饮于百花丛中，以酿制芬芳馥郁的数学蜜糖呵！学习的成效非常之高。他在抽象的领域里驰骋得多么自由自在！大家有共同的dx和dy等等之类的数学语言。心心相印，息息相通。三年中间，没有人歧视他，也不受骂挨打了。他很少和人来往，过的是黄金岁月；全身心沉浸在数学的海洋里面。真想不到，那么快，他就毕业了。一想到他将要当老师，在讲台上站立，被几十对锐利而机灵，有时难免要恶作剧的眼睛盯视，他禁不住吓得打颤！

7、善意的误会，是容易纠正的。无知的嘲讽，也可以谅解的。批判一个数学家，多少总应该知道一些数学的特点。否则，说出了糊涂话来自己还不知道。陈景润被批判了。他被帽子工厂看中了：修正主义苗子，安钻迷，白专道路典型，白痴，寄生虫，剥削者。就有这样的糊涂话：这个人，研究(1＋2)的问题。他搞的是一套人们莫名其妙的数学。让哥德巴赫猜想见鬼去吧！(1＋2)有什么了不起！1＋2不等于3吗？此人混进数学研究所，领了国家的工资，吃了人民的小米，研究什么1＋2＝什么玩艺儿？！伪科学！

8、其实，一方面数学本就与世界的发展密不可分，另一方面快节奏的时代追求“经世致用”本也无可非议。只不过笔者此处更希望从数学本身来看待其存在的意义。如哈代所言，“数学家与画家和诗人一样，是模式的创造者”，数学本身是有其美感存在的。数学界追求真理的旅行，就是发现和创造美的旅行。中科院物理所的曹则贤老师曾在他的书里提到，“读数学、物理书和看小说一样，并非完全能看懂的就是好的”但愿本文的读者也不会被文中偶尔蹦出来的公式吓到，而是可以透过这些繁杂的演算获得属于自己的思考。

9、一九二四年，数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；一九三二年，数学家爱斯斯尔曼证明了(6＋6)；一九三八年，数学家布赫斯塔勃证明了(5＋5)；一九四零年，他又证明了(4＋4)。一九五六年，数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)。一九五八年，我国数学家王元又证明了(2＋3)。包围圈越来越小，越接近于(1＋1)了。但是，以上所有证明都有一个弱点，就是其中的二个数没有一个是可以肯定为素数的。

10、并不懂得数学的人说出这样的话，那是可以理解的，可是说这些话的人中间，有的明明是懂得数学，而且是知道哥德巴赫猜想这道世界名题的。那么，这就是恶意的诽谤了。权力使人昏迷了；派性叫人发狂了。

11、而哈代等人认为当t与分母较小的既约分数时接近时，(歌德巴赫猜想)。

12、然而这长达160余年的探索并非毫无成果。由于欧拉、高斯、黎曼、狄利克雷、阿达马等数学家在数论与函数论领域的突破性研究，为之后以哥德巴赫为代表的数论研究打下了坚实的基础。

13、        任一大于2的整数都可写成三个质数之和。但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。(n>5：当n为偶数，n=2+(n-2)，n-2也是偶数，可以分解为两个质数的和；当n为奇数，n=3+(n-3)，n-3也是偶数，可以分解为两个质数的和)

14、点击查看：TwoWaystoProveGoldbachConjecture

15、借助上述方法，哈代和李特尔伍德在1923年的论文中证明了“在假设广义黎曼猜想成立的前提下，每个充分大的奇数都能表示为三个素数的和以及几乎每一个充分大的偶数都能表示成两个素数的和”这里的“广义黎曼猜想”，指的是用狄利克雷L函数代替黎曼猜想中的黎曼ζ函数，其他表述不变。哈代和李特尔伍德的工作使哥德巴赫猜想的证明向前迈进了一大步。

16、关于最初的几个偶数，很容易证明哥德巴赫猜想是成立的，例如：

17、所谓的黎曼函数是无穷级数在这大半个复平面上的解析延拓(analyticcontinuation).因为在这里上述级数是不收敛的，1859年德国数学家伯恩哈德·黎曼(BernhardRiemann)于1859年在其文《论小于给定数值的素数个数》中首先找到了如下的解析延拓    可以证明，在上述解析延拓中除了在处有一个简单的极点(simplepole)外，在整个复平面上是处处解析的，即所谓亚纯函数(meromorphicfunction).通过上述表达式可以证明，黎曼函数满足下列函数方程首先可以从上述表达式中看出黎曼函数在(是正整数)出取值为0，是为平凡零点(但要注意一点解析延拓后的表达式与原来的级数表达式已然不同，所以你不能简单地令然后说                       这毕竟是很多民科“引以为豪”的结果).黎曼发现函数除了有上述平凡零点外也有无穷多非平凡零点(non-trivialzero)，这些零点的性质远比平凡零点来得复杂，黎曼经过研究后提出日后成为数学界最为艰深的猜想——黎曼猜想：黎曼函数所有非平凡零点均位于复平面的直线上学界称这条直线为临界线(criticalline)我们可以很容易地从上面函数方程中看出来黎曼函数确实关于临界线有某种对称性，因此黎曼凭借他强大的直觉猜测很有可能函数所有非平凡零点都是在临界线上的(不过后来事实证明黎曼自己确实是算过一些零点的数值的)。为了对函数进一步研究，黎曼引入了辅助函数容易发现函数的零点恰好便是函数的非平凡零点(因为是极点，所以也就不是函数的零点了)，也就是说函数像一个细密的筛子将函数的所有非平凡零点从其零点中筛了出来。利用复变函数的知识黎曼证明了这下子对称性就变得尤为明显了。我们记为函数的零点便有这里与总是配对出现的。需要注意的一点，上述连乘积展开对于有限多项式虽是显然，但对这种无穷乘积却不总是成立的，这背后蕴含着极其深刻的原因。直到1893年阿达马(Hadamard)对以为代表的整函数(entirefunction)进行系统研究之后，才完完全全证明了黎曼这个表达式。   利用函数黎曼研究了零点分布并且提出以下三个猜测：

18、(12) Rademacher,H.(1924,December).Beiträgezurviggobrunschenmethodeinderzahlentheorie.In AbhandlungenausdemMathematischenSeminarderUniversitätHamburg (Vol.3,No.1,pp.12-30).Springer-Verlag.

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20、回答是何等富有原则和智慧！简直就是外交公文。

21、李书记问他，“下班以后，下午五点半好不好？我到你屋去看看你。”

22、“李书记，谢谢你，”陈景润说，他见人就谢。“很高兴，”他说了一连串的很高兴。他一见面就感到李书记可亲。“很高兴，李书记，我很高兴，李书记，很高兴。”

23、“……为革命钻研技术，分明是又红又专，被他们攻击为白专道路”。

24、阴数和阳数都是系列数，我们规定6m-1为阴数数列，6n+1为阳数数列，阳数数列任取两个数，两者之和为阳偶数；阴数数列任取两个数，两者之和为阴偶数；阴数数列中任取一个数，阳数数列中任取一个数，两者之和为中偶数。

25、也有的数学家认为纯数学总有一天也会有用。非欧几何的创始人之俄国数学家罗巴切夫斯基曾经说过：“没有哪个数学分支有一天会不被用于解决现实世界的问题，不管它是多么抽象。”在当时非欧几何还只是抽象的数学游戏，后来却被爱因斯坦用在了广义相对论，所以罗巴切夫斯基的预言至少在其开创的领域应验了。即使是纯之又纯的数论，现在也在密码学中获得了应用。

26、用现代的数学语言，哥德巴赫猜想可以陈述为：任一大于2的偶数，都可表示成两个素数之和。

27、这时，我告诉他，我已同中国科学院有关方面联系，得到了院领导方毅同志的支持，他说：“那太好了！”并告诉我，他向一位老同志征求意见，那位老同志说：“陈氏定理了不起啊！应该写。”

28、室里的领导老田对李书记说，“可以动员动员他，让他拿出来。但也不急。他不拿出来，自然有他的道理的。”

29、        欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。

30、回到所里，经过一番认真考虑，并做了一些调查研究，他很快写了一封回信。信里大致有如下三点内容：第我国一贯重视发展与世界各国科学家之间的学术交流和友好关系，因此，我感谢国际数学联合会主席先生的盛情邀请；第世界上只有一个中国，就是中华人民共和国，台湾是中国不可分割的一个省，而目前台湾占据着数学联合会的席位，因此，我不能参加；第如果驱逐了台湾代表，我可以考虑出席。

31、“哪里哪里。我就在煤油灯下工作；那，一样工作。”

32、“哥德巴赫猜想的困难程度可以与任何一个已知的数学难题相比。——戈弗雷·哈罗德·哈代”

33、210以内的所有质数中，有19对质数其和为2其差组成从2到1密集的偶数数列。最下面一行的每一个差与上面一行质数中的一对(或多对)质数相连表示这个差是对应的两个质数的差。——复制自Wang(2021a)。

34、1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。

35、图片来源：TheOberwolfachPhotoCollection

36、陈景润后来不断改进自己的结果，从某种意义上来说已经将筛法的威力发挥到了极致。但很可惜的是，陈景润的加权筛法要证明最终哥德巴赫猜想(“1+1”)需要在加权筛中取x=而这将导致估计主项和余项变得难以实现。所以如今数学界的主流意见认为，最终证明哥德巴赫猜想，还需要新的思路或者新的数学工具，或者在现有的方法上进行颠覆性的改进。但无论如何，陈景润已经走在了哥德巴赫猜想研究的最前沿。

37、编辑：知识分子(ID：The-Intellectual)

38、中偶数：30=1+29=7+23=13+17=19+11=25+5；42=1+41=7+35=13+29=19+23=25+17=31+11=37+5；

39、阴数数列和阳数数列中都包含了可以被大于3的质数如11等整除的合数，然而，阴数数列和阳数数列相反路劲可以选取替代阴数和替代阳数，两者之和仍然为同一个偶数，这就是说，存在不同的阴数之和或者阳数之和或者阴阳数之和等于同一个偶数的可以相互替换的组合数列；

40、曾经有人强调了科学工作者要安心工作，钻研学问，迷于专业。陈景润又被认为是这种所谓资产阶级科研路线的“安钻迷”典型。确实他成天钻研学问。不关心政治，是的，但也参加了历次的政治运动。共产d好，国民d坏，这个朴素的道理他非常之分明。数学家的逻辑像钢铁一样坚硬；他的立场站得稳。他没有犯过什么错误。在政治历史上，陈景润一身清白。他白得像一只仙鹤。鹤羽上，污点沾不上去。而鹤顶鲜红；两眼也是鲜红的，这大约是他熬夜熬出来的。他曾下厂劳动，也曾用数学来为生产服务，尽管他是从事于数论这一基础理论科学的。但不关心政治，最后政治要来关心他。但是，能不能一推就把他推过敌我界线？能不能将他推进“专政队”里去？尽量摆脱外界的干扰，以专心搞科研又有何罪？

41、到了二十世纪的二十年代，问题才开始有了点儿进展。

42、如下图所示，质数超积210与30有三个方面不同：

43、它让人们重新认识了数学家陈景润，认识了人才和科学的重要性。2018年12月18日，在庆祝改革开放40周年大会上，已故的陈景润获得了“激励青年勇攀高峰”的荣誉称号。他的事迹还将激励一代又一代青年继续奋进。

44、(19) 徐迟. 哥德巴赫猜想.人民文学.1978,(1):53–

45、等式3)看似平凡，却具有重要的意义：在第一个加数P0不变的情况下，第二个加数(PP2)数值之差等于相应的和(EE2)之差。

46、报告文学《哥德巴赫猜想》在《人民文学》1978年第1期发表后轰动一时，在40多年后的今天仍常常被文学界和读者提及、谈论。

47、回顾和分析上述的证明过程，我们发现，“质数之间的差构成密集的偶数数列”对于证明所有的偶数都是两个质数之和具有决定性意义。

48、上面仅仅是对于陈景润“1+2”证明思路的简单梳理，事实上其证明过程十分繁琐，而且需要很高的技巧性。能够最终得出“1+2”的证明，陈景润无愧于数论大师之名。

49、十三岁那年，他母亲去世了。是死于肺结核的；从此，儿想亲娘在梦中，而父亲又结了婚，后娘对他就更不如亲娘了。抗战胜利了，他们回到福州。陈景润进了三一中学。毕业后又到英华书院去念高中。那里有个数学老师，曾经是国立清华大学的航空系主任。

50、《人民文学》的编辑们干劲儿很足，想到了自己担当的责任和使命，遂决定结合文学创作积极参与这次重大科学活动。我们编辑部内部在开会讨论这个选题的时候，大家都认为若没有知识，尤其是没有知识分子，怎么搞“四个现代化”？而作为一家全国性的文学刊物，《人民文学》如能在这个时候组织一篇反映科学领域的作品，比如重点选取这一领域中先进的、典型的科学家作为对象，然后请有实力的作家来写一篇报告文学，既可借作品响应思想解放的号召，又可以呼吁社会尊重知识，尊重知识分子。这便是我们当初一些朴素真实的想法。

51、“人是一株会思考的芦苇。”没有了思考，人类终将失去存在的意义。

52、参加学术会议的希尔伯特。1900年，希尔伯特在巴黎举行的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，提出了23个最重要的数学问题。希尔伯特问题在相当一段时间内引导了世界数学研究的方向，有力地推动了20世纪数学的发展。在许多数学家努力下，希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决。

53、回望哥德巴赫猜想的发展历程，其发端似乎是数学家心血来潮的胡思乱想。事实上许多历史上大名鼎鼎的猜想皆是如此。

54、陈景润随手把新床单连同褥子一起翻了起来，露出了床板，指着说，“这不是？这样也就可以工作了。”

55、一九五六年年底，陈景润再次从南方海滨来到了首都北京。

56、陈景润的幼小心灵受到了极大的创伤。他时常被惊慌和迷惘所征服。在家里并没有得到乐趣，在小学里他总是受人欺侮。他觉得自己是一只丑小鸭。不，是人，他还是觉得自己也是一个人。只是他瘦削、弱小。光是这付窝囊样子就不能讨人喜欢。习惯于挨打，从来不讨饶。这更使对方狠狠揍他，而他则更坚韧而有耐力了。他过分敏感，过早地感觉到了旧社会那些人吃人的现象。他被造成了一个内向的人，内向的性格。他独独爱上了数学。不是因为被压，他只是因为爱好数学，演算数学习题占去了他大部分的时间。

57、本文第一段最后一句说到的“文献(10)”就是这时他以简报形式，在《科学通报》上宣布的，但只提到了结果，尚未公布他的证明。他当时正修改他的长篇论文。就是在这个当口，突然陈景润被卷入了政治革命的万丈波澜。

58、1990年北大地质学学士，1998年赴佛罗里达大学留学，2004年获博士学位。随后回国，一直在中科院南古所工作至今。

59、(将一个偶数用两个质数之和表示的方法，等于同一横线上，蓝线和红线的交点数。)

60、上图30以内的所有质数中有3对质数(7和11和13和17)，其和为其差组成从2到密集的偶数数列。最下面一行的每一个差与上面一行质数中的一对(或多对)质数相连表示这个差是对应的两个质数之差。——复制自Wang(2021a)

61、哥德巴赫猜想为国人所熟知，很大程度上要归功于当代作家徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》在当时特殊的历史时期，这篇报告文学使整个社会为之一震，同时也推动了我国“报告文学”这一文学题材的繁荣。可惜的是也正是因为这篇报告文学，使得不少没有受过正规数学训练的数学爱好者投入到哥德巴赫猜想的“研究”之中。据说中科院在相当长的一段时间里，每年都会收到“几麻袋”的讨论或声称证明了哥德巴赫猜想的来信来稿。而笔者写作本文的原因之也是希望粗略回顾和介绍哥德巴赫猜想与陈景润的“陈氏定理”。同时希望读者可以多多少少了解“1+2”、“1+1”之类的命题的真正内涵，而不至于望文生义，把哥德巴赫猜想视为一道普普通通的课后习题。

62、有一次，老师给这些高中生讲了数论之中一道著名的难题。他说，当初，俄罗斯的彼得大帝建设彼得堡，聘请了一大批欧洲的大科学家。其中，有瑞士大数学家欧拉(他的著作共有八百余种)；还有德国的一位中学教师，名叫哥德巴赫，也是数学家。

63、基于这两条定理，很容易推出下面第三条定理：

64、早一天，数学研究所的周大姐说，佳节前后，要特别关心一下病号。她说：“那些老八路的作风，那些过去部队里形成的作风，我们千万不能丢掉了。尤其像陈景润那样的同志，要关心他，他很顽强。他病得起不来了，但又没有起不来的时候。在任何情况下挣扎起来，他坚持工作。他为什么？他为谁？为他自己吗？为他自己，早就不干了。不是，他是为人民，为d工作。我们要去慰问他。也要慰问单位里所有的病人。”

65、哥德巴赫猜想一直以来都深受业余数学爱好者的青睐，一个很重要的原因就是其表述十分简洁易懂。然而猜想的证明实际上是极为困难的。自1742年猜想被正式提出后的160余年里，数学家苦苦探寻，都没有取得任何实质性的进展，更多的只是提出一些等价的命题，或者是对猜想进行数值验证。

66、其他为秦牧(右一)、黄宗英(左一)、周明(后排右一)、王南宁(后排左一)

67、(10) 潘承洞，潘承彪(1981).哥德巴赫猜想.北京：科学出版社.

68、大年初一早晨，周大姐和几个书记，包括李书记，一行数人，把头天买好了的苹果、梨子装进一些塑料网线袋子。若干袋子大家分头提了，然后举步出发，慰问病人。他们先到陈景润那里。他住得最近。

69、从这个“9+9”开始，全世界的数学家集中力量“缩小包围圈”，当然最后的目标就是“1+1”了。

70、这，出乎我们的意料。他绝不像传说中的那样“傻”，那样“痴”，而是一个很有政治头脑的科学家。

71、1924年，德国数学家雷德马赫证明了定理“7+7”。

72、1920年，挪威数学家布朗证明了定理“9+9”，由此划定了进攻“哥德巴赫猜想”的“大包围圈”。所谓“9+9”，翻译成数学语言就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成其它两个数之和，而这两个数中的每个数，都是9个奇质数之积。”

73、首先，我们关心的第一个质数超积是30=2x3x由下图看出，30是3对(6个)质数之和，例如：

74、“我知道我的病早已严重起来。我是病入膏肓了。细菌在吞噬我的肺腑内脏。我的心力已到了衰竭的地步。我的身体确实是支持不了啦！唯独我的脑细胞是异常的活跃，所以我的工作停不下来。我不能停止。……”

75、福州解放！那年他高中三年级。因为交不起学费，一九五零年上半年，他没有上学，在家自学了一个学期。高中没有毕业，但以同等学历报考，他考进了厦门大学。那年，大学里只有数学物理系。读大学二年级时，才有了一个数学组，但只四个学生。到三年级时，有数学系了，系里还是这四个人。因为成绩特别优异，国家又急需培养人才，四个人提前毕了业；而且，立即分配了工作，得到的优待，羡慕煞人。一九五三年秋季，陈景润被分配到了北京！在第Ｘ中学当数学老师。这该是多么的幸福了呵！

76、阴偶数：28=5+23=11+17=3+25；40=5+35=11+29=17+23=3+37；

77、“是的，闵老师已看过，不会有错误的，”陈景润说。

78、其中Card()表示集合的元素个数，不等式右侧第一项即是所谓“加权筛”，且有

79、刚过国庆，十月的阳光普照。书记还只穿一件衬衣，衰弱的陈景润已经穿上棉袄。

80、主编张光年果断拍板，促成了《哥德巴赫猜想》的出世。

81、第二天，新华社记者来访。他见到了陈景润，谈了话，进他房间看了看。回去就写出一篇报道，立即在内部刊物上发表。其中，说到了陈景润的经历；他刻苦钻研的精神；重大的科研成果以及他现在还住在一间烟熏火烤的小房间里。生活条件很差！疾病严重！！生命垂危！！！

82、突然间我们想起当时社会上流传的一个故事，即一个外国代表团来华访问，成员中有人提出要见中国的一名大数学家陈景润教授。因为，他从一本权威科学杂志上看到了陈景润攻克世界数学难题“哥德巴赫猜想”的学术论文，十分敬佩。知悉后，我国有关方面千方百计寻找，终于在中国科学院数学研究所找到了这位数学家。

83、(4)Pomerance,Carl (1982).TheSearchforPrimeNumbers. ScientificAmerican. 247 (6):136–1

84、由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1+1”仅有一步之遥了。

85、我们来看下图，最内圈上有从11到211共计48个质数(有个别例外，如111187)，在每一个质数加上210以后会形成第二圈上的质数。这意味着最内圈上的质数之间的差等同于其他10圈上质数之间的差(同前，个别的例外情形并不影响它们之间差形成的偶数数列的密集性的存在)。这意味着我们最为关心的质数之间差的偶数数列的密集性是保守的、固定不变的，可以通过质数的周期性传递到无限远。(当然，如果你感兴趣，这个质数周期性的图还可以接着往下画，具体如何往下进行，可以参见Wang,2021b。友情提醒，你们家的收入多寡决定了最后你能展示质数的周期性的范围)。

86、《哥德巴赫猜想》一经问世，立即引起读者热烈反响。许多人争相购买和竞相传阅，首都各大报纸和各地报纸、广播电台纷纷全文转载和连续广播。1978年2月16日的《光明日报》全文转载了《哥德巴赫猜想》，2月17日《人民日报》再次全文转载，由此在全国引起轰动。