如图，若将 triangle ABC 绕点 C 顺时针旋转 90° 后得到 triangle A'B'C'，则 A 点的对应点 A' 的坐标是何？

在几何变换中，旋转是一种基本的操作，它能够改变图形的方向而不改变其大小和形状。当我们考虑一个三角形绕其一个顶点旋转时，每个顶点的坐标都会按照一定的规律发生变化。本文将详细解析如何通过坐标变换来找到点 A 在顺时针旋转 90° 后的新坐标 A'。

坐标变换的基本原理

在二维平面直角坐标系中，一个点 (x, y) 绕原点旋转 θ 角度后，其新坐标 (x', y') 可以通过以下公式计算： x' = x * cos(θ) - y * sin(θ) y' = x * sin(θ) + y * cos(θ) 在这个问题中，我们关注的旋转是绕点 C，因此旋转中心不是原点。我们需要先找到点 A 和点 C 之间的相对坐标，然后应用上述公式。

确定点 A 和点 C 的相对坐标

假设点 A 的坐标为 (x_A, y_A)，点 C 的坐标为 (x_C, y_C)。点 A 相对于点 C 的坐标可以通过以下公式计算： x_A' = x_A - x_C y_A' = y_A - y_C 这样，我们就得到了点 A 相对于点 C 的坐标 (x_A', y_A')。

应用旋转公式

现在我们已经有了点 A 相对于点 C 的坐标，我们可以将这个坐标视为在旋转中心（点 C）的旋转。由于我们要顺时针旋转 90°，θ 的值为 -90°（在数学上，顺时针旋转角度为负）。将这个角度代入旋转公式，我们得到： x_A'' = x_A' * cos(-90°) - y_A' * sin(-90°) y_A'' = x_A' * sin(-90°) + y_A' * cos(-90°) 由于 cos(-90°) = 0 和 sin(-90°) = -1，公式可以简化为： x_A'' = 0 * x_A' - (-1) * y_A' = y_A' y_A'' = (-1) * x_A' + 0 * y_A' = -x_A' 因此，点 A' 的坐标为 (x_A'', y_A'')。

将相对坐标转换为绝对坐标

最后一步是将点 A' 的相对坐标转换回绝对坐标。我们只需要将相对坐标 (x_A'', y_A'') 加上点 C 的坐标 (x_C, y_C)，即可得到点 A' 的最终坐标： A' = (x_C + x_A'', y_C + y_A'') 这样，我们就得到了点 A 在顺时针旋转 90° 后的新坐标 A'。

总结

通过上述步骤，我们可以计算出点 A 在绕点 C 顺时针旋转 90° 后的新坐标 A'。这个过程涉及到坐标变换的基本原理，包括相对坐标的计算和旋转公式的应用。理解这些步骤对于解决类似的几何变换问题至关重要。