怎样用坐标法证明余弦定理 一、引言 余弦定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了三角形中边长与角度之间的关系。在高中数学中，我们通常使用几何法或代数法来证明余弦定理。而坐标法是一种更为直观和方便的方法，通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，从而证明余弦定理。本文将详细介绍如何运用坐标法证明余弦定理。

1. 建立坐标系

为了运用坐标法证明余弦定理，首先需要建立一个直角坐标系。以三角形ABC的顶点A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴。设A点坐标为(0,0)，B点坐标为(a,0)，C点坐标为(0,b)。

2. 表示三角形边长

在坐标系中，三角形ABC的边长可以表示为向量。设向量AB为$\vec{AB} = \{a, 0\}$，向量AC为$\vec{AC} = \{0, b\}$，向量BC为$\vec{BC} = \{a, b\}$。

3. 表示三角形角度

在坐标系中，三角形ABC的角度可以通过向量之间的夹角来表示。设$\theta$为$\angle BAC$，则$\vec{AB}$与$\vec{AC}$的夹角也为$\theta$。同理，设$\phi$为$\angle ABC$，则$\vec{AB}$与$\vec{BC}$的夹角为$\phi$；设$\psi$为$\angle BCA$，则$\vec{AC}$与$\vec{BC}$的夹角为$\psi$。

4. 利用向量点积计算余弦值

根据向量点积的定义，我们有： $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |AB| \cdot |AC| \cdot \cos\theta$$ $$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |AB| \cdot |BC| \cdot \cos\phi$$ $$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = |AC| \cdot |BC| \cdot \cos\psi$$ 其中，$|AB| = a$，$|AC| = b$，$|BC| = \sqrt{a^2 + b^2}$。

5. 建立余弦定理方程

根据余弦定理，我们有： $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\theta$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\phi$$ $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\psi$$ 其中，$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。

6. 代入向量点积计算结果

将向量点积计算结果代入余弦定理方程，得到： $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\left(\frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|AB| \cdot |AC|}\right)$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\left(\frac{\vec{AB} \cdot \vec{BC}}{|AB| \cdot |BC|}\right)$$ $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\left(\frac{\vec{AC} \cdot \vec{BC}}{|AC| \cdot |BC|}\right)$$

7. 化简方程

对上述方程进行化简，得到： $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\theta$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\phi$$ $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\psi$$ 这与余弦定理的原始表达式完全一致，从而证明了余弦定理。

通过以上步骤，我们成功地运用坐标法证明了余弦定理。坐标法不仅直观易懂，而且便于计算，是一种非常实用的证明方法。